Sesión del 5/7/19

Relación conectivos lógicos y operaciones de conjuntos

Conectivos lógicos

Conjunción

Sesión del 2/7/19

Conjuntos:

Un conjunto se define como la agrupación de diferentes elementos que comparten entre sí características y propiedades semejantes. Estos elementos pueden ser cualquier cosa, tales como números, canciones, meses, personas, etcétera.

A su vez un conjunto puede convertirse también en un elemento. Por ejemplo, un ramo de flores. En principio una flor sería el primer elemento, pero al conjunto de flores se lo puede considerar luego como un ramo de flores, convirtiéndose así, en un nuevo elemento.

Formas de describir los conjuntos

Diagrama de Venn

El diagrama de Venn no es más que la representación gráfica de los conjuntos. Es decir, cuando los elementos que componen el conjunto se encuentran dentro de una superficie limitada por una línea:

Imagina que tienes una bolsa en la que  hay diferentes frutas. Entonces, al traducirlo como un conjunto  se vería la  como lo que representa todas frutas. El círculo sería la bolsa y lo que se encuentra adentro, en este caso cada una de las frutas (manzana, banano, naranja) serían los elementos que forman el conjunto de las frutas.

Conjunto universo:

es un conjunto formado por todos los objetos de estudio en un contexto dado.

Operaciones de conjuntos:

1. Unión de conjuntos

La operación se denomina unión de conjuntos, y da como resultado un nuevo conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. Escrito con símbolos, la unión de dos conjuntos (por ejemplo llamados G y H) se denota así:

 G  ∪  H

Si queremos expresarlo en diagramas de Venn, deben primero representarse   todos los elementos en sus respectivos conjuntos y luego incluyen todos (sin repetirlos) en un mismo diagrama. En la siguiente imagen, se puede apreciar esta definición con mucha claridad. Presta atención:

2. Intersección 

Realizar la intersección de dos o más conjuntos, es definir un nuevo conjunto formado solamente por aquellos elementos que estén presentes en todos los conjuntos en cuestión. En otras palabras: sólo forman parte del nuevo conjunto, los elementos que tengan en común.

Existe un símbolo matemático para la intersección. Para poner un ejemplo,la intersección de dos conjuntos llamados G y H se denota de la siguiente manera:

G  ∩ H

En vez de ejemplificar en diagramas, esta vez veremos cómo se representa la interescción de conjuntos definida por extensión.

Primero definimos a los respectivos conjuntos:

G = { a, b, c, d, e, f, g, h }

H = { a,e,i,o,u }

G  ∩ H = { a,e }

En efecto, a y e, son los únicos elementos en común, es decir que están presentes en los dos conjuntos a la vez.

3.Diferencia de conjuntos:

La diferencia de dos conjuntos A y B, que se escribe A - B, se define como el conjunto formado por los elementos A que no pertenecen a B.

La diferencia de conjuntos las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente forma;

a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la diferencia se representa de la siguiente forma;

b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la diferencia es igual al conjunto A y se representa;

c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B la diferencia es igual a conjunto Vacío (ᴓ), y se representa;

d) Cuando todos los elementos del conjunto B pertenecen a A, la diferencia se representa;

Ejemplo:

Sean los conjuntos A = { 2, 4, 6, 8, 10 } y B = { 1, 2, 3, 4, 5} .

¿Cuál es la diferencia de A - B?

4. Diferencia Simétrica:

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B, que se escribe A Δ B, se define como la diferencia de A U B y A ∩ B.

La diferencia simétrica de conjuntos las podemos representar en un diagrama de Venn de la siguiente forma;

a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la diferencia simétrica se representa de la siguiente forma;

b) Cuando los conjuntos no tienen elementos en común, la diferencia simétrica es igual al conjunto A U B y se representa;

c) Cuando todos los elementos de A pertenecen a B, la diferencia simétrica es igual B - A, y se representa;

Ejemplo:

Sean dos conjuntos A = { a, b, c } y { a, b, c, d, e, f } ¿Cuál es la diferencia simétrica de A y B? 

5. Complemento de un conjunto:

Dado el conjunto A ϵ U, se define el conjunto complementario de A, que se escribe A^c, el cual está formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal (U), pero que no pertenecen a A.

El conjunto complemento de A lo podemos representar en un diagrama de Venn de la siguiente forma;

Es decir, también podemos interpretarlo como;

Ejemplo:

Sea U = { a, e, i, o, u } y A = { i, u } ¿cuál es el complemento de A?

Entonces, si quitamos las letras i y u, obtenemos A^c.

6. Producto cartesiano 

El producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto.

 Si el conjunto A está formado por los elementos 3, 5, 7 y 9, mientras que el conjunto B alberga los elementos m y r, el producto cartesiano de ambos conjuntos es el siguiente:

A x B = {(3,m), (3,r), (5, m), (5,r), (7,m), (7,r), (9,r), (9,r)}

El producto cartesiano, por lo tanto, está formado por todos los pares ordenados que se pueden formar a partir de dos ciertos conjuntos. Cada par ordenado se constituye por dos elementos: el primer elemento pertenece a un conjunto y el segundo elemento, al otro. Si seguimos con nuestro ejemplo, en el par ordenado (3,m), 3 es el primer elemento (corresponde al conjunto A) y m es el segundo elemento (perteneciente al conjunto B).

Es importante establecer, además de todo lo expuesto, que cuando hablamos de productos cartesianos tenemos que hacer referencia a dos casos o tipos de generalizaciones posibles. Así, por un lado, se encuentra el llamado caso finito, que es aquel que parte de un número finito de conjuntos (A1, A2, A3…An). Del mismo su producto cartesiano vendría a ser el grupo de listas numeradas cuyo elemento está en A1, el segundo en A2…

El caso infinito sería aquel en el que, partiendo de una gran familia de conjuntos con toda la probabilidad infinita y de carácter arbitrario, a la hora de definir el pertinente producto cartesiano se sustituiría lo que es la definición de las mencionadas listas numeradas por otra.

Sesión del 28/06/19
Examen Parcial 3

Sesiones del 26 y 27 de junio

Repaso de las proposiciones.

Sesión del 21/06/2019

Formas verbales de condicional

Implica, suficiente y necesaria

Formas de la condicional

Forma directa p -> q

Si llevo presentación entonces usaré cañonera

Forma recíproca q -> p

Usaré la coñonera si llevo la presentación

Forma inversa

~p -> ~q

Si no llevo presentación entonces no usaré cañonera

Forma contrapositiva

~q -> ~p

No usaré la cañonera si no llevo la presentación

Forma directa = forma contrapositiva

Forma recíproca = forma inversa 

Sesión del 25/06/2019

Proposición condicional

Una proposición condicional es aquella proposición que teniendo un antecedente deriva en una consecuencia, tiene una estructura “si p entonces q”.

Por ejemplo:

p: Saco 10 en mi próximo examen. q: Obtendré una beca.

Aplicando la estructura de una proposición condicional si p → q, donde p también es llamada antecedente o hipótesis y q consecuente, obtenemos:

Si saco 10 en mi próximo examen entonces obtendré una beca.

Tabla de verdad

Proposición bicondicional

Una proposición bicondicional también llamada de equivalencia ocurre cuando cuando la primera y la segunda proposición tienen el mismo valor lógico es decir cuando ambos son verdaderos o son falsos.

Su estructura p ↔ q se traduce a “p si y solo si q”, “entonces y solo entonces” o más comunmente a “q es equivalente a p”. No confundir equivalencia con igualdad.

Ejemplo:

a: Podré obtener mi licencia. (V) b: Apruebo el curso de conducción. (V)

a ↔ b: Podré obtener mi licencia si y solo si apruebo el curso de conducción.b ↔ a: Si apruebo el curso de conducción entonces y solo entonces podré obtener mi licencia.

Tabla de verdad

Sesión 19-6-19

Proposición compuesta 

En lógica matemática se dispone de los denominados operadores lógicos, que permiten modificar proposiciones, o asociar dos o más enunciados simples, convirtiéndolos en proposiciones compuestas.

Ejemplo: 

La raíz cuadrada de 25 es 5, o -5.

No todos los números primos son impares.

Mi cuñado es arquitecto e ingeniero.

Los aparatos tecnológicos son negros, blancos o grises.

Si tengo hambre pues cocino.

Proposición abierta

Son expresiones que contienen una variable y que al ser sustituidas dicha variable por un valor determinado, hace que la expresión se convierta en una proposición, pero sin alterar el orden. La proposición abierta es una expresión que tiene significado pero contiene por lo menos un término variable o indeterminado.

Ejemplos:

1. Tengo x dinero en el banco 

2. Alguien es un actor famoso 

Negación de las proposiciones 

Es una operación sobre un valor de verdad, típicamente, el valor de una proposición, que produce un valor de verdadero cuando su operando es falso, y un valor de falso cuando su operando es verdadero. Por tanto, si el enunciado A es verdadero, entonces ¬A (pronunciado "no A") sería consecuentemente falso; y lo contrario, si ¬A es verdadero, entonces A sería falso.

La tabla de verdad de ¬p es la siguiente:

Tabla de verdad de ¬p

p	¬p
Verdadero	Falso
Falso	Verdadero

Conjución

Es cuando dos proposiciones simples se combinan mediante la expresión y  , la proposición compuesta resultante se le llama conjunción (pΛq). Su símbolo es: Λ, &, · 

Ejemplos:
La puerta está vieja y oxidada.Hace frío y está nevando.
Está lloviendo y es de noche.
Tiene gasolina y tiene corriente.

Simbolizacion

P ^ Q

F ^ V = F

Tabla de verdad

Disyunción 

 Se representan dos enunciados separadas por la expresión o basta con que una sea verdadera para que se cumpla la proposición  (pvq). Su símbolo es: V

Ejemplos:

Está lloviendo o es de noche.Está feliz o está enojado.Está caminando o está lloviendo.Hay derivadas o hay integrales.

Simbolización

P v Q

V v F = V

Tabla de verdad

Sesión 12/6/19

Ejercicios con Tangram

Sesión del 11/6/19

Ejercicios de construcción con ladrillos.

Sesión 7/6/2019
Resolver una ecuación de primer grado
La estrategia de utilizar una ecuación de primer grado para resolver un problema es muy importante, porque muchos problemas de las ciencias, la economía, las finanzas, la medicina y de otro campos se pueden plantear en términos de una ecuación.

Sesión del 6/06/2019
Estrategia proporcionalidad o porcentajes

Razón: Es el resultado de comparar dos cantidades y siempre es un número real. En la razón x : y (se lee x es a y), donde a x se le llama antecedente, y a y consecuente. 

Proporción: Se le llama proporción a la igualdad de dos razones. Una proporción se puede escribir como a : b : : c : d (se lee a es a b como c es a d). 

Porcentaje: Es una razón en la cual el consecuente es 100. 

Ejemplo:n

Sesión del 13/6/19
Gráficas estadísticas
 Es un tipo de representación de datos, generalmente numéricos, mediante recursos visuales (líneas, vectores, superficies o símbolos), para que se manifieste visualmente la relación matemática o correlación estadística que guardan entre sí.


Gráficas de barras
También conocido como gráfico de barras o diagrama de columnas, es una forma de representar gráficamente un conjunto de datos o valores, y está conformado por barras rectangulares de longitudes proporcionales a los valores representados.



Gráfica de líneas
muestran una serie como un conjunto de puntos conectados mediante una sola línea.




Pictograma
Dibujo o signo gráfico que expresa un concepto relacionado materialmente con el objeto al que se refiere.


Gráfica radial

Gráfico de Araña, Gráfico de Red, Gráfico Polar y Gráfico de Estrella. Los gráficos radiales son una forma de comparar múltiples variables cuantitativas. Esto los hace útiles para ver qué variables tienen valores similares o si hay valores atípicos entre cada variable.

4/6/19
Primer examen parcial

Sesión 8 31/05/2018
Estrategia de trabajar hacia atrás

La estrategia de trabajar hacia atrás consiste en que, a partir del dato final o la solución, ir pensando hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a los datos originales. se precede a recorrer la secuencia de pasos al contrario para ir de los datos conocidos a la solución.

Sesión 7 30/05/2019
La estrategia de hacer un diagrama es útil para identificar en ellos datos e incógnitas del problema.
En la figura se colocan todos los datos conocidos que da el problema y los datos que se pretende encontrar, esto nos ayuda a tener una mejor idea y visualización de lo que el problema pide.

Sesión 6 29-05-2019
Utilización de un cuadro o lista

La estrategia de cuadro o lista es útil al resolver los problemas, pues colocando lo datos en una lista se identifican mejor las incógnitas del problema.

SESIÓN 7-6-2019

Ecuaciones de Primer Grado
Ecuación: igualdad de dos expresiones que incluyen términos conocidos, variables e incognitas.

Problema:
La suma de las edades de tres personas es 112 años. La mayor tiene 20 más que la menor, la del medio tiene 18 años menos que la mayor. hallar las respectivas edades.

Pasos de Polya:
Paso 1:
Las edades de tres personas suman 112 años, debo encontrar la edad de cada una.

Paso 2 Trabajar con ecuaciones o con cada variable.

Paso 3.

Mayor + Medio + Menor = 112

x=menor
x+20= mayor
x+20-18= medio

x+20+ (x+20-18)+x=112
x+20+x+2+x)112
3x+22=112

3x=112-22
3x=90
x=90/3
x=30
Menor= 30
Mayor= 30+20= 50
Medio= 30+20+18=32

Paso 4 Prueba
30+50+32=112

30+20+(30+20-18)+30=112
50+32+30=112
112=112

Sesión 5 28-05-2019

1. Repaso de los pasos de POLYA

Paso 1:
Identificar el problema
Entender el problema
Formular la pregunta

Paso 2
La forma en la que se va a resolver el problema,

Paso 3
Resolver el problema

Paso 4
Realizar la prueba

2. Buscar un patrón

2  4  6  8, el patrón es 2 por lo que el siguiente número es 10
1  4  9  16, el patrón es el numero siguiente al cuadrado, es decir que el siguiente número es 25.


Problema:

Sesión 4
Tema abordado: Problema Similar más simple
1. Determinar cuantos cuadrados hay en un cuadrado de 8*8
2. Resolver un problema similar más simple
3. Resolver problema

1x1	64 cuadrados
2x2	49 cuadrados
3x3	36 cuadrados
4x4	25 cuadrados
5x5	16 cuadrados
6x6	9 cuadrados
7x7	4 cuadrados
8x8	1 cuadrado

                           
4. Respuesta 204 cuadrados

Sesión 3:
Se abordó el tema los cuatro paso de Polya.

Ejemplo desarrollado:


             Paso 1

1.       

·         Juan le pide a Manuel Q3 y van a tener cantidades iguales

·         Manuel le pide a Juan Q6 y van a tener el doble ¿cuánto dinero tiene cada uno?

Paso 2

Método utilizado: 

             Ensayo y error

             

             Paso 3: Resolver

               Probar con números para llegar al resultado requerido

            Paso 4:

            Juan 24 y 30 Manuel  

Sesión 2
Los temas abordados fueron:
Razonamiento inductivo, en esta parte los casos van de particulares a casos generales.

Razonamiento deductivo: los casos van de generales a casos particulares.

Razonamiento analógico, está basado en comparaciones.

Sesión 1.

1. Explicación de las generalidades del curso Estrategias de razonamiento y la metodología del curso.
2. En la sesión 1 se explicaron los temas siguientes:
2.1. Razonamiento: conjunto de actividades mentales, que se interconectan y que a través de un proceso mental nos lleva a la solución de un problema o situación determinada.

2.2. Lógica: Es la ciencia que estudia las estructuras del pensamiento y las relaciones entre las mismas de forma coherente.

2.3 Razonamiento lógico: Nos lleva de ciertas proporciones lógicas a ciertas conclusiones utilizando reglas de inferencia y operaciones.